Coefficient binomial et triangle rectangle de Pascal

 On donne ci-après les premières lignes du triangle de Pascal.

\(\begin{align*} \begin{array}{|c|c|}\hline 1\\ \hline1&1 \\ \hline1&2&1\\ \hline 1&3&3&1\\ \hline1&4&6&4&1 \\ \hline 1&5&&&&\;\; \\ \hline\end{array} \end{align*}\)

1. Reproduire ce triangle, compléter la 6^e ligne et ajouter les deux lignes suivantes.
2. Alex a décidé de se mettre à la cuisine. Bien que débutant, il est persuadé d'avoir un don. D'après lui, les épices, et tout particulièrement le piment oiseau, sont le secret d'un plat réussi.
Malheureusement, son entourage trouve que \(8\) plats sur \(10\) créés par Alex sont trop pimentés.
Un parent de son entourage décide de sélectionner \(3\) plats au hasard pour tester combien sont trop épicés. L'arbre de probabilités donné ci-après illustre la situation.
On note \(\text{E}\) l'événement « le plat est trop épicé » et \(\overline{\text{E}}\) l’événement contraire.

    a. Déterminer le nombre de chemins menant à \(1\) unique plat trop épicé.
    b. Déterminer le nombre de chemins menant à \(2\) plats trop épicés.
    c. Déterminer le nombre de chemins menant à \(\)la totalité de plats trop épicés.
3. Sur quelle ligne du triangle créé à la question 1. peut-on retrouver ces résultats ?
4. Pour rappel, le nombre de chemins menant à \(1\) succès parmi \(3\) répétitions d'une même épreuve de Bernoulli est le coefficient binomial \(\dbinom{3}{1}=3\). En utilisant le triangle de Pascal construit à la question 1., et éventuellement l'arbre de la question 2., déterminer :
    a. le nombre de chemins menant à \(2\) succès s'il y a \(2\) répétitions.
    b. le nombre de chemins menant à \(3\) succès s'il y a \(3\) répétitions.
    c. Comparer les deux résultats ci-dessus et commenter.
5. Recommencer en déterminant :
    a. le nombre de chemins menant à \(2\) succès s'il y a \(5\) répétitions. 
    b. le nombre de chemins menant à \(3\) succès s'il y a \(5\) répétitions. 
    c. Comparer les deux résultats ci-dessus et commenter.
6. Recommencer en déterminant :
    a. le nombre de chemins menant à \(5\) succès s'il y a \(6\) répétitions.
    b. le nombre de chemins menant à \(4\) succès s'il y a \(5\) répétitions.
    c. Comparer les deux résultats ci-dessus et commenter.